望月新一

克萊因曲面的模曲線

望月論文中宇宙際Teichmüller理論的定義和數論中傳統概念的比較

ABC猜想到底在猜測什麼？

果殼的讀者們，你們即將經歷數學中最為抽象、彷彿起源於虛無的數論和代數幾何的結合體。 這裡的理論無法用圖示去說明，是在把解方程這件事情綜合分析得出“對稱”、“互質”之流的結構之後，進一步抽象得到的結構的結構。

簡單來說，就是有3個數：a、b和c =a+b，如果這3個數互質，沒有大於1的公共因子，那麼將這3個數不重複的質因子相乘得到的d， “幾乎一定”會比c大。 舉個例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。 這3個數是互質的，那麼不重複的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。 大家還可以實驗幾組數，比如：3+7=10，4+11=15，也都滿足這個猜想。

但是，上面所述之內容，並非猜想的全貌，而且依照上面的算法去找a+b=c，還居然存在反例！ 著名的ABC@home 網站就在用分佈式計算尋找ABC猜想的反例，其中一個反例是3+125=128：其中125=5 ³ ，128=2 ⁷ ，那麼不重複的質因子相乘就是3* 5*2=30

這就是ABC猜想的表述了，聽起來好像不如以前我們知道的數論中的猜想那樣精確直觀。比如費馬最後定理：a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ ，當n大於等於3時就沒有整數解了。 又比如哥德巴赫猜想：一個數一定表示成兩個質數之和。 ABC猜想不但涉及加法（兩個數之和），又包含乘法（質因子相乘），接著還模糊地帶有點乘方（1+ε次方），最坑爹的是還有反例存在？ 這實在有點山寨——如果你這樣想，那就太小瞧這個猜想了。 實際上，除了尚未解決的涉及多個數學分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，與ABC猜想的影響力相比，其他數論中的猜想，諸如哥德巴赫猜想、孿生質數猜想，以及已經解決的費馬最後定理，都只能算是戰鬥力只有5的渣滓。

ABC猜想為何如此重要？

首先，ABC猜想，對於數論研究者來說，是反直覺的。

歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論，數不勝數。 一旦反直覺的理論被證實是正確的，基本上都改變了科學發展的進程。 舉一個例子：牛頓力學的慣性定律，物體若不受外力就會保持目前的運動狀態，這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈。 “物體不受力當然會從運動變為停止”，這是當時的普通人基於每天的經驗得出的正常思想。 而實際上，這種想法，在任何一個於20世紀學習過初中物理、知道有種力叫摩擦力的人來看，都會顯得過於幼稚。 但對於當時的人們來說，慣性定理的確是相當違反人類常識的！

ABC猜想之於現在的數論研究者，就好比牛頓慣性定律之於17世紀的普通人，更是違反數學上的常識。 這一常識就是：“a和b的質因子與它們之和的質因子，應該沒有任何联系。” 原因之一就是，允許加法和乘法在代數上交互，會產生無限可能和不可解問題，比如關於丟番圖方程統一方法論的希爾伯特第十問題，早就被證明是不可能的。 如果ABC猜想被證明是正確的，那麼加法、乘法和質數之間，一定存在人類已知數學理論從未觸及過的神秘關聯。

質數螺旋

再者，ABC猜想和其他很多數論中的未解問題有著重大聯繫。

比如剛才提到的丟番圖方程問題、費馬最後定理的推廣猜想、Mordell猜想、Erdős–Woods猜想，等等等等。 而且，ABC猜想還能間接推導出很多已被證明的重要結果，比如費馬最後定理。 從這個角度來講，ABC猜想是質數結構的未知宇宙的強力探測器，僅次於黎曼猜想。

其次，我們來看望月用了什麼數學工具來解決ABC猜想。

望月開始埋頭研究ABC猜想的證明時，距猜想提出不過10年，而且幾乎沒有任何進展，望月可以說是幾乎從零開始的。 之所以說“幾乎”，是因為望月20多歲時，在“遠阿貝爾幾何”[1]領域中作出過超卓貢獻，還被邀請到4年一屆的國際數學家大會上演講。 然而，1988年柏林的數學家大會結束之後，望月就從學術界消失，潛心於他自己的宇宙去證明ABC猜想了。 他用的理論工具，正是“遠阿貝爾幾何”。

可以說，望月證明ABC猜想的目的之一，就是要把遠阿貝爾幾何發揚光大。 遠阿貝爾幾何這個數學分支，由代數幾何教皇格羅騰迪克於上個世紀80年代創建，研究對像是不同幾何物體上的代數簇的基本群的結構相似性。

在富有傳奇色彩的麗沃夫咖啡館，近代分析學之父巴納赫說：“數學家能找到定理之間的相似之處，優秀的數學家能看到證明之間的相似之處，卓越的數學家能察覺到數學分支之間的相似之處。最後，究級的數學家能俯瞰這些相似之處之間的相似之處。” 格羅騰迪克，便落入了巴納赫分類的究級數學家之列，遠阿貝爾幾何便是一門研究“相似之相似”的數學分支： 16世紀，的卡爾達諾研究3次方程求根；19世紀，伽羅瓦發現特殊高次方程解的群結構；代數幾何中的代數簇，則是一大類方程的公共解；代數簇的基本群，則是對於已經綜合了一大類理論的代數簇理論的再一次綜合，關心什麼樣的結構獨立於幾何物體的代數簇的表象之外。

球射影空間上的代數簇

於是乎，對於數學家來說，檢查望月的證明是否存在錯漏的另外一個難題就是：要透徹理解望月那512頁的ABC猜想的證明，需要先弄懂望月關於遠阿貝爾幾何的750頁的著作！ 全世界總共只有約50名數學家在這方面有足夠的背景知識去通讀望月這本遠阿貝爾幾何著作，更別提望月在證明猜想中建立起來的“宇宙際Teichmüller理論”了。 目前為止，自稱“宇宙際幾何學者”的望月，是他自己創造出的宇宙中的獨行者。

之前提到的望月的好友、牛津大學教授金明迥說：“讀證明，對數學家來說，也是非常痛苦的。說服大多數代數幾何學者去閱讀需要如此之多基礎知識的證明，更是一件難事。” 當然，這並不代表沒有數學家在檢查望月的證明，2012年10月，斯坦福大學教授Akshay Venkatesh函至望月，指出第3篇和第4篇論文中的錯誤。 望月也迅速答复，承認了錯誤，並說明該錯誤對整體理論並無影響。

證明發表之後，懷疑之聲不絕於耳。 因為從直覺上來講，ABC猜想如果被證明正確，對於數論的影響之巨大，無異於相對論和量子物理之於現代物理學。 有些人認為，要是ABC猜想被證明，世界就太美好了，彷彿身處幻境。

大多數數論工作者希望，望月能夠就他的證明寫出一個綜述，將整套理論的邏輯脈絡展現給大家，比如為什麼要引入定理X和概念Y，怎麼層層推進到最終猜想的證明。 設立千禧年大獎的克雷數學研究所也在考慮邀請望月開辦一個討論班，邀請世界上最優秀的數論和代數幾何學家參加，大家一同學習這個新理論。

不過，關於望月新一本人，他在發布證明之後拒絕了任何採訪，而且他不喜好社交。 在Google上搜索關於望月新一的背景介紹，中文鏈接中可讀的， 唯有盧昌海發佈在他個人主頁上的文章 ：“望月新一1969年3月29日出生於日本東京， 16歲進入美國普林斯頓大學就讀本科， 三年後進入研究生院，師從著名德國數學家、 1986 年菲爾茨獎得主法爾廷斯， 23 歲（即1992 年） 獲得數學博士學位。 此後， 他先是、'海歸'成了京都大學數理解析研究所的研究助理，幾個月後又前往美國哈佛大學從事了近兩年的研究， 然後重返京都大學。 2002 年， 33 歲的望月新一成為了京都大學數理解析研究所的教授。 望月新一的學術聲譽頗佳， 曾獲得過日本學術獎章等榮譽。”

關於望月的這種出世的行事方法，金明迥作出的評價是：“當你沉浸在自己的理論宇宙中太久，你會察覺不到他人對於你的理論的困惑，因為你先入為主地假設了所有人都明白很多基礎知識。”

故事到此就告一段落了，大家都在見證歷史。